Sistemas Digitales - Fundamentos y Aplicaciones

📊 Sistemas Analógicos vs. Digitales

📈 Sistemas Analógicos

Señal Continua

Un sistema analógico representa la información mediante señales continuas que varían suavemente a lo largo del tiempo. Estas señales pueden tomar cualquier valor dentro de un rango determinado.

Ejemplos comunes

• La voz humana (ondas sonoras)
• La temperatura (termómetro de mercurio)
• La presión (manómetro)
• Señal de audio de tocadiscos de vinilo

Ventajas

Capacidad para representar información con precisión infinita, sin restricciones en los valores de la señal

Desventajas

Más susceptibles al ruido e interferencias, degradación de calidad con el tiempo y la distancia

📱 Sistemas Digitales

Señal Discreta

Un sistema digital representa la información mediante señales discretas o cuantificadas, que solo pueden tomar un número finito de valores predefinidos. El ejemplo más común es el sistema binario, donde la información se representa con solo dos estados: 0 y 1 (encendido/apagado, verdadero/falso, alto/bajo voltaje).

Ejemplos de sistemas digitales

• Ordenadores y smartphones
• Reproductores de CD/DVD/Blu-ray
• Cámaras digitales
• Sistemas de comunicación modernos

Ventajas

Inmunes al ruido, transmisión y procesamiento fiables, fácil almacenamiento, copia y manipulación sin pérdida de calidad

Consideraciones

La conversión ADC/DAC introduce cuantificación, pero la robustez y versatilidad los han convertido en la base de la tecnología moderna

⚖️ Comparación Detallada

Aspecto	Analógico	Digital
Representación	Continua	Discreta (0, 1)
Precisión	Infinita (teórica)	Limitada por bits
Ruido	Muy susceptible	Muy resistente
Procesamiento	Complejo	Simple y versátil
Almacenamiento	Difícil	Fácil y confiable

🔢 Sistemas de Numeración

📚 Fundamentos

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar números. En sistemas digitales, los más importantes son:

🔟 Sistema Decimal (Base 10)

Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

$$(1234)_{10} = 1×10^3 + 2×10^2 + 3×10^1 + 4×10^0$$

🔢 Sistema Binario (Base 2)

Dígitos: 0, 1

$$(1101)_2 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 13_{10}$$

🔣 Sistema Hexadecimal (Base 16)

Dígitos: 0-9, A, B, C, D, E, F

$$(2A3)_{16} = 2×16^2 + 10×16^1 + 3×16^0 = 675_{10}$$

🔄 Tabla de Conversiones

Decimal	Binario	Hexadecimal
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

🔄 Métodos de Conversión

📊 Conversión de Decimal a Binario

Para convertir un número decimal a binario, se utiliza el método de divisiones sucesivas por 2. Se divide el número decimal por 2, se anota el resto, y el cociente se vuelve a dividir por 2. Este proceso se repite hasta que el cociente sea 0. El número binario se forma leyendo los restos de abajo hacia arriba.

Ejemplo: Convertir 13₁₀ a binario:

13 ÷ 2 = 6 Resto 1

6 ÷ 2 = 3 Resto 0

3 ÷ 2 = 1 Resto 1

1 ÷ 2 = 0 Resto 1

Leyendo los restos de abajo hacia arriba:

1101₂

🔢 Conversión de Binario a Decimal

Para convertir un número binario a decimal, se multiplica cada bit por la potencia de 2 correspondiente a su posición y se suman los resultados. La posición más a la derecha es 2⁰, la siguiente 2¹, y así sucesivamente.

Ejemplo: Convertir 1101₂ a decimal:

1

2³

1

2²

0

2¹

1

2⁰

1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1

8 + 4 + 0 + 1

= 13₁₀

🧮 Calculadora de Conversión de Bases

Número a convertir:

Base de origen:

Resultados de Conversión:

Ingrese un número para ver las conversiones.

➕ Aritmética Binaria

🔢 Operaciones Básicas

➕ Suma Binaria

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (0 con acarreo 1)

Ejemplo:

1011₂ (11₁₀)

+ 1101₂ (13₁₀)

-------------

11000₂ (24₁₀)

➖ Resta Binaria

0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 (con préstamo)

Ejemplo:

1101₂ (13₁₀)

- 1011₂ (11₁₀)

-------------

0010₂ (2₁₀)

🔄 Complemento a 2

El complemento a 2 es el método más utilizado para representar números negativos en sistemas digitales.

📋 Procedimiento:

1. Complemento a 1

Invertir todos los bits (0→1, 1→0)

2. Sumar 1

Agregar 1 al resultado anterior

Ejemplo: -5 en 8 bits

+5 = 00000101₂

Complemento a 1: 11111010₂

Sumar 1: 11111011₂

-5 = 11111011₂

🧮 Calculadora Aritmética Binaria

Primer número binario:

Segundo número binario:

Operación:

Resultado:

Ingrese números binarios para realizar operaciones.

🔢 Sistema BCD (Binary-Coded Decimal)

📚 Concepto de BCD

El BCD (Binary-Coded Decimal) es un sistema donde cada dígito decimal se representa con 4 bits binarios. Es útil en aplicaciones donde se requiere una conversión directa entre decimal y binario.

🎯 Características del BCD:

• Cada dígito decimal usa exactamente 4 bits
• Solo se usan combinaciones 0000 a 1001
• Las combinaciones 1010 a 1111 no son válidas
• Facilita la conversión decimal-binario

⚖️ BCD vs Binario Puro

Número: 25₁₀

BCD: 0010 0101

Binario: 11001

📊 Tabla BCD

Decimal	BCD (4 bits)	Binario Puro
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	10
3	0011	11
4	0100	100
5	0101	101
6	0110	110
7	0111	111
8	1000	1000
9	1001	1001

Nota: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 son inválidos en BCD

💡 Ejemplos de Conversión BCD

Ejemplo 1: 147₁₀ a BCD

1 → 0001

4 → 0100

7 → 0111

147₁₀ = 0001 0100 0111 BCD

Ejemplo 2: 0010 1000 0101 BCD a Decimal

0010 → 2

1000 → 8

0101 → 5

0010 1000 0101 BCD = 285₁₀

8 7 5 9

Display BCD Simulado

🧮 Convertidor BCD

Número decimal:

Código BCD (separado por espacios):

Resultado:

Ingrese un número para convertir.

⚡ Álgebra de Boole

📚 Fundamentos del Álgebra de Boole

El Álgebra de Boole es un sistema matemático que opera con variables que solo pueden tomar dos valores: verdadero (1) o falso (0). Es la base matemática de los sistemas digitales.

🔧 Propiedades del Álgebra de Boole

📋 Leyes Fundamentales:

Conmutativa

A + B = B + A
A · B = B · A

Asociativa

(A+B)+C = A+(B+C)
(A·B)·C = A·(B·C)

Distributiva

A·(B+C) = A·B + A·C
A+(B·C) = (A+B)·(A+C)

De Morgan

$\overline{(A+B)} = \bar{A} \cdot \bar{B}$
$\overline{(A \cdot B)} = \bar{A} + \bar{B}$

Identidad

A + 0 = A
A · 1 = A

Complemento

A + Ā = 1
A · Ā = 0

Idempotencia

A + A = A
A · A = A

Absorción

A + (A · B) = A
A · (A + B) = A

Elemento Nulo

A + 1 = 1
A · 0 = 0

Doble Negación

$\overline{\overline{A}} = A$

🚪 Puertas Lógicas

Las puertas lógicas son circuitos digitales que implementan las operaciones del álgebra de Boole

🔗 Puerta AND

&

Y = A · B

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

🔀 Puerta OR

>=1

Y = A + B

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

🚫 Puerta NOT

1

Y = Ā

A	Y
0	1
1	0

⚡ Puerta NAND

&

Y = $\overline{A \cdot B}$

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

🔄 Puerta NOR

>=1

Y = $\overline{A + B}$

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

⚡ Puerta XOR

=1

Y = A ⊕ B

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

🧮 Simulador de Puertas Lógicas

Tipo de puerta:

Entrada A:

Entrada B:

Resultado:

Seleccione una puerta y valores de entrada.

📊 Funciones Booleanas y Tablas de Verdad

🔍 ¿Qué es una Función Booleana?

Una función booleana (también llamada función lógica) es una expresión matemática que relaciona un conjunto de variables de entrada binarias (que solo pueden tomar valores 0 o 1) con una salida binaria. Estas funciones son la base fundamental de todos los circuitos digitales y sistemas de computación.

📋 Características principales:

• Variables de entrada: Solo pueden ser 0 (falso) o 1 (verdadero)
• Salida única: Siempre produce un resultado binario (0 o 1)
• Determinística: Para las mismas entradas, siempre produce la misma salida
• Finita: Con n variables, existen 2ⁿ combinaciones posibles

💡 Ejemplos de funciones booleanas:

F₁(A,B) = A · B

Función AND de 2 variables

F₂(A,B,C) = A + B̄ · C

Función mixta de 3 variables

F₃(A) = Ā

Función NOT de 1 variable

🎯 Importancia en sistemas digitales:

Las funciones booleanas son esenciales porque permiten describir matemáticamente el comportamiento de cualquier circuito digital. Desde un simple interruptor hasta los procesadores más complejos, todo puede expresarse mediante estas funciones. Esto facilita el diseño, análisis y optimización de sistemas digitales.

📊 Tablas de la Verdad

Una tabla de la verdad es una herramienta que se utiliza para representar todas las posibles combinaciones de valores de entrada de una función lógica y el valor de salida correspondiente para cada combinación. Es esencial para definir el comportamiento de las puertas lógicas y para analizar circuitos.

Características importantes:

Para una función con n variables de entrada, habrá 2ⁿ filas en la tabla de la verdad, ya que cada variable puede ser 0 o 1.

📋 Minterms y Maxterms

Una de las tareas fundamentales en el diseño lógico es obtener una expresión booleana que represente el comportamiento de un circuito a partir de su tabla de la verdad. Esto se puede hacer utilizando dos formas canónicas: la Suma de Productos (SOP) o Minterms, y el Producto de Sumas (POS) o Maxterms.

🔢 Minterms (Suma de Productos)

Un minterm es un producto de todas las variables donde la función vale 1.

Ejemplo para 3 variables (A, B, C):

m₀ = Ā·B̄·C̄ (000)

m₁ = Ā·B̄·C (001)

m₂ = Ā·B·C̄ (010)

m₃ = Ā·B·C (011)

m₄ = A·B̄·C̄ (100)

m₅ = A·B̄·C (101)

m₆ = A·B·C̄ (110)

m₇ = A·B·C (111)

🔢 Maxterms (Producto de Sumas)

Un maxterm es una suma de todas las variables donde la función vale 0.

Ejemplo para 3 variables (A, B, C):

M₀ = A+B+C (000)

M₁ = A+B+C̄ (001)

M₂ = A+B̄+C (010)

M₃ = A+B̄+C̄ (011)

M₄ = Ā+B+C (100)

M₅ = Ā+B+C̄ (101)

M₆ = Ā+B̄+C (110)

M₇ = Ā+B̄+C̄ (111)

📊 Ejemplo de Tabla de Verdad

Consideremos una función F(A,B,C) con la siguiente tabla de verdad:

A	B	C	F	Minterm	Maxterm
0	0	0	0	-	M₀
0	0	1	1	m₁	-
0	1	0	0	-	M₂
0	1	1	1	m₃	-
1	0	0	1	m₄	-
1	0	1	0	-	M₅
1	1	0	1	m₆	-
1	1	1	0	-	M₇

Forma Canónica SOP (Suma de Productos):

F = m₁ + m₃ + m₄ + m₆

F = Ā·B̄·C + Ā·B·C + A·B̄·C̄ + A·B·C̄

Forma Canónica POS (Producto de Sumas):

F = M₀ · M₂ · M₅ · M₇

F = (A+B+C)·(A+B̄+C)·(Ā+B+C̄)·(Ā+B̄+C̄)

🗺️ Mapas de Karnaugh

🎯 ¿Qué son los Mapas de Karnaugh?

Los Mapas de Karnaugh (K-maps) son una herramienta gráfica para simplificar funciones booleanas. Permiten visualizar y agrupar términos adyacentes para obtener la expresión más simple.

🔧 Ventajas de los K-maps:

• Método visual e intuitivo
• Garantiza la expresión mínima
• Fácil identificación de grupos
• Aplicable hasta 4-5 variables

📋 Reglas de Agrupación:

• Los grupos deben ser potencias de 2 (1, 2, 4, 8...)
• Solo se agrupan celdas adyacentes con valor 1
• Los grupos pueden ser rectangulares
• Se busca el menor número de grupos más grandes
• Los bordes del mapa son adyacentes (wrap-around)

🗺️ Ejemplo de K-map 3 Variables

F(A,B,C) = Σm(1,3,4,6) = Ā·B̄·C + Ā·B·C + A·B̄·C̄ + A·B·C̄

B̄C̄

B̄C

BC

BC̄

Ā

0

1

0

A

1

0

1

Grupo 1 (Amarillo):

Ā·C (celdas 1,3)

Grupo 2 (Verde):

A·C̄ (celdas 4,6)

Función Simplificada:

F = Ā·C + A·C̄

📋 Cómo Aplicar los Mapas de Karnaugh

El proceso general para simplificar una función usando un K-map es el siguiente:

1

Crear el Mapa

Dibuja una cuadrícula donde cada celda representa un minterm de la función. Las filas y columnas se etiquetan con las combinaciones de las variables de entrada en código Gray (donde solo un bit cambia entre celdas adyacentes).

Ejemplo de código Gray para 2 variables:

00 → 01 → 11 → 10

2

Rellenar el Mapa

Para cada minterm (combinación de entradas que produce una salida de 1) en la tabla de la verdad, coloca un '1' en la celda correspondiente del K-map. Las celdas con salida 0 se dejan en blanco o se marcan con un '0'.

Importante:

Cada celda del mapa corresponde exactamente a una fila de la tabla de verdad.

3

Agrupar los '1's

Agrupa los '1's en el mapa en bloques de 2ⁿ celdas (1, 2, 4, 8, ...). Los grupos deben ser rectangulares o cuadrados y tan grandes como sea posible. Las celdas en los bordes opuestos del mapa se consideran adyacentes (el mapa se "envuelve" sobre sí mismo). Cada '1' debe estar cubierto por al menos un grupo, y se busca cubrir todos los '1's con el menor número de grupos posible.

Tamaños válidos de grupos:

• 1 celda (2⁰)

• 2 celdas (2¹)

• 4 celdas (2²)

• 8 celdas (2³)

Reglas de agrupación:

• Solo formas rectangulares

• Grupos más grandes = mejor

• Menos grupos = mejor

• Los bordes son adyacentes

4

Obtener la Expresión Simplificada

Para cada grupo, identifica las variables que no cambian de valor dentro de ese grupo. Esas variables (o sus complementos) formarán un término producto. Si una variable es 0 en todas las celdas del grupo, se usa su complemento; si es 1, se usa la variable sin complementar. Las variables que cambian de valor dentro del grupo se eliminan.

Regla clave:

Variable constante = se incluye
Variable que cambia = se elimina

5

Sumar los Términos

La expresión booleana simplificada se obtiene sumando (OR) todos los términos producto obtenidos de los grupos.

Resultado final:

F = Término₁ + Término₂ + ... + Término_n

💡 Ejemplo Práctico Paso a Paso

Función a simplificar:

F(A,B,C) = Σm(1,3,4,6)

Paso 1-2: Crear y rellenar el mapa

B̄C̄

B̄C

BC

BC̄

Ā

0

1

0

A

1

0

1

Pasos 3-5: Agrupar y simplificar

Grupo Amarillo (m₁, m₃):

• A = 0 (constante) → Ā
• B cambia (0→1) → se elimina
• C = 1 (constante) → C
Término: Ā·C

Grupo Verde (m₄, m₆):

• A = 1 (constante) → A
• B cambia (0→1) → se elimina
• C = 0 (constante) → C̄
Término: A·C̄

Resultado Final:

F = Ā·C + A·C̄

🔧 Circuitos Lógicos

Los circuitos lógicos son combinaciones de puertas lógicas interconectadas que realizan una función específica

🎯 ¿Qué son los Circuitos Lógicos?

Los circuitos lógicos son combinaciones de puertas lógicas interconectadas que realizan una función específica. Se diseñan para procesar información binaria y son la base de todos los dispositivos electrónicos digitales.

🔍 Características principales:

• Procesamiento binario: Trabajan exclusivamente con 0s y 1s
• Interconexión de puertas: Combinan múltiples puertas lógicas
• Función específica: Cada circuito realiza una tarea determinada
• Base de la electrónica digital: Fundamento de todos los dispositivos

⚙️ Proceso de diseño:

1. Definir la función

Especificar qué debe hacer el circuito

2. Crear tabla de verdad

Definir todas las combinaciones entrada-salida

3. Obtener función booleana

Expresar matemáticamente el comportamiento

4. Simplificar y optimizar

Minimizar puertas y retardos

5. Implementar físicamente

Construir el circuito con puertas reales

💡 Importancia en la tecnología moderna:

El diseño de circuitos lógicos implica traducir una función booleana deseada en una configuración de puertas lógicas que la implemente de manera eficiente, minimizando el número de puertas o el retardo de propagación. Esta optimización es crucial para crear dispositivos más rápidos, eficientes y económicos.

📊 Tipos de Circuitos Lógicos

Existen dos tipos principales de circuitos lógicos:

🔄 Circuitos Combinacionales

📋 Características:

• Sin memoria: No almacenan información de estados anteriores
• Salida instantánea: Depende únicamente de las entradas actuales
• Función determinística: Mismas entradas = misma salida
• Respuesta inmediata: Cambios en entrada reflejan inmediatamente en salida

💡 Ejemplos comunes:

🧮 Sumadores

Realizan operaciones aritméticas binarias

🔓 Decodificadores

Convierten código binario a señales de control

🔒 Codificadores

Convierten múltiples entradas a código binario

🔀 Multiplexores

Seleccionan una entrada de múltiples opciones

⚖️ Comparadores

Comparan dos números binarios

Ecuación característica:

Salida = f(Entradas actuales)

🔄 Circuitos Secuenciales

📋 Características:

• Con memoria: Almacenan información de estados anteriores
• Dependencia temporal: La salida depende del historial
• Elementos de almacenamiento: Usan flip-flops o latches
• Sincronización: Operan con señales de reloj

💡 Ejemplos comunes:

🔢 Contadores

Cuentan pulsos o eventos secuencialmente

📝 Registros

Almacenan datos temporalmente

🎛️ Máquinas de Estados

Controlan secuencias de operaciones

💾 Memorias

Almacenan información a largo plazo

⏰ Temporizadores

Generan retardos y secuencias temporales

Ecuación característica:

Salida = f(Entradas, Estado anterior)

⚖️ Comparación Detallada

Aspecto	Circuitos Combinacionales	Circuitos Secuenciales
Memoria	Sin memoria	Con memoria
Dependencia	Solo entradas actuales	Entradas + estado anterior
Elementos	Solo puertas lógicas	Puertas + flip-flops/latches
Sincronización	No requiere reloj	Requiere señal de reloj
Velocidad	Respuesta instantánea	Respuesta en ciclos de reloj
Complejidad	Menor complejidad	Mayor complejidad
Aplicaciones	Operaciones aritméticas, decodificación	Almacenamiento, control, secuencias

💡 Ejemplo Práctico: Sumador Completo

Un sumador completo es un circuito combinacional que suma tres bits: dos bits de entrada (A y B) y un bit de acarreo de entrada (Cin). Produce una suma (S) y un acarreo de salida (Cout).

📊 Tabla de Verdad

A	B	Cin	S	Cout
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

🔧 Funciones Booleanas

Suma (S):

S = A ⊕ B ⊕ Cin

Acarreo (Cout):

Cout = A·B + Cin·(A ⊕ B)

Interpretación:

• La suma es 1 cuando hay un número impar de 1s en las entradas
• El acarreo es 1 cuando al menos dos entradas son 1

🎯 Implementación con Puertas

Para la Suma (S):

A ⊕ B ⊕ Cin → Dos puertas XOR en cascada

Para el Acarreo (Cout):

A·B + Cin·(A ⊕ B) → Puertas AND, XOR y OR

🧮 Simulador de Circuitos Combinacionales

Tipo de circuito:

Resultado:

Seleccione un circuito y configure las entradas.

🌐 ¿Qué son los Sistemas Digitales?

📊 Sistemas Analógicos vs. Digitales

📈 Sistemas Analógicos

📱 Sistemas Digitales

⚖️ Comparación Detallada

🔢 Sistemas de Numeración

📚 Fundamentos

🔟 Sistema Decimal (Base 10)

🔢 Sistema Binario (Base 2)

🔣 Sistema Hexadecimal (Base 16)

🔄 Tabla de Conversiones

🔄 Métodos de Conversión

📊 Conversión de Decimal a Binario

🔢 Conversión de Binario a Decimal

🧮 Calculadora de Conversión de Bases

Resultados de Conversión:

➕ Aritmética Binaria

🔢 Operaciones Básicas

➕ Suma Binaria

➖ Resta Binaria

🔄 Complemento a 2

📋 Procedimiento:

🧮 Calculadora Aritmética Binaria

Resultado:

🔢 Sistema BCD (Binary-Coded Decimal)

📚 Concepto de BCD

🎯 Características del BCD:

⚖️ BCD vs Binario Puro

📊 Tabla BCD

💡 Ejemplos de Conversión BCD

🧮 Convertidor BCD

Resultado:

⚡ Álgebra de Boole

📚 Fundamentos del Álgebra de Boole

🔧 Propiedades del Álgebra de Boole

📋 Leyes Fundamentales:

🚪 Puertas Lógicas

🔗 Puerta AND

🔀 Puerta OR

🚫 Puerta NOT

⚡ Puerta NAND

🔄 Puerta NOR

⚡ Puerta XOR

🧮 Simulador de Puertas Lógicas

Resultado:

📊 Funciones Booleanas y Tablas de Verdad

🔍 ¿Qué es una Función Booleana?

📋 Características principales:

💡 Ejemplos de funciones booleanas:

🎯 Importancia en sistemas digitales:

📊 Tablas de la Verdad

📋 Minterms y Maxterms

🔢 Minterms (Suma de Productos)

🔢 Maxterms (Producto de Sumas)

📊 Ejemplo de Tabla de Verdad

Forma Canónica SOP (Suma de Productos):

Forma Canónica POS (Producto de Sumas):

🗺️ Mapas de Karnaugh

🎯 ¿Qué son los Mapas de Karnaugh?

🔧 Ventajas de los K-maps:

📋 Reglas de Agrupación:

🗺️ Ejemplo de K-map 3 Variables

Función Simplificada:

📋 Cómo Aplicar los Mapas de Karnaugh

Crear el Mapa

Rellenar el Mapa

Agrupar los '1's

Obtener la Expresión Simplificada

Sumar los Términos

💡 Ejemplo Práctico Paso a Paso

🔧 Circuitos Lógicos

🎯 ¿Qué son los Circuitos Lógicos?

🔍 Características principales:

⚙️ Proceso de diseño:

💡 Importancia en la tecnología moderna:

📊 Tipos de Circuitos Lógicos

🔄 Circuitos Combinacionales

📋 Características:

💡 Ejemplos comunes:

🔄 Circuitos Secuenciales