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Estática y Máquinas Simples

Análisis completo del equilibrio de partículas y sólidos rígidos aplicado a las máquinas fundamentales

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🔬 Fundamentos de la Estática

La estática es la rama de la mecánica que estudia las condiciones bajo las cuales los cuerpos permanecen en equilibrio. Analizaremos desde el equilibrio de partículas hasta el comportamiento de sólidos rígidos en las máquinas simples.

⚛️ Equilibrio del Punto Material (Partícula)

🎯 Concepto de Partícula

Una partícula es un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables comparadas con las distancias involucradas en el problema. En este caso, todas las fuerzas actúan en un mismo punto, por lo que no hay momento ni rotación.

Condición de Equilibrio de la Partícula
Primera Ley de Newton (Equilibrio Estático)
$$\sum \vec{F} = 0$$
La suma vectorial de todas las fuerzas es cero
Componentes Rectangulares
Eje X:
$$\sum F_x = 0$$
Eje Y:
$$\sum F_y = 0$$
Eje Z:
$$\sum F_z = 0$$
📊 Características del Equilibrio de Partículas:
• Concurrencia: Todas las fuerzas pasan por un punto
• Coplanaridad: Las fuerzas pueden estar en un plano
• Máximo 3 ecuaciones: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0
• Máximo 3 incógnitas: Tres fuerzas desconocidas
⚛️ Equilibrio de Partícula
X Y Partícula F₁ F₂ F₃ F₁ₓ F₁ᵧ θ₁
Todas las fuerzas concurren en un punto
🧮 Resolución por Componentes
F1x + F2x + F3x = 0
F1y + F2y + F3y = 0
Donde: Fix = Fi cos θi, Fiy = Fi sen θi

🔄 Equilibrio del Sólido Rígido

Un sólido rígido es un cuerpo que no se deforma bajo la acción de fuerzas. Para su equilibrio, además de la suma de fuerzas, debemos considerar los momentos.

Condiciones de Equilibrio del Sólido Rígido

1ª Condición - Equilibrio de Fuerzas
$$\sum \vec{F} = 0$$
Evita la traslación del cuerpo
2ª Condición - Equilibrio de Momentos
$$\sum \vec{M} = 0$$
Evita la rotación del cuerpo

🌀 Momento de una Fuerza

El momento de una fuerza respecto a un punto es la medida de la tendencia de esa fuerza a producir rotación alrededor de dicho punto.

Definiciones del Momento
Momento escalar:
$$M_O = F \times d$$
d = brazo de palanca (distancia perpendicular)
Momento vectorial:
$$\vec{M_O} = \vec{r} \times \vec{F}$$
Producto vectorial de posición y fuerza
Magnitud del momento:
$$|M_O| = |r| \times |F| \times \sin \theta$$
θ = ángulo entre r y F
🔑 Propiedades del Momento:
• Unidades: N⋅m (Newton-metro)
• Sentido: Horario (-) o Antihorario (+)
• Brazo de palanca: Distancia perpendicular a la línea de acción
• Principio de transmisibilidad: El momento es independiente del punto de aplicación sobre la línea de acción
Momento de una Fuerza
O Barra F b M
M = F × b

📋 Diagrama de Cuerpo Libre (DCL)

El Diagrama de Cuerpo Libre es una representación esquemática que muestra el cuerpo aislado de su entorno, con todas las fuerzas externas que actúan sobre él.

📝 Pasos para construir un DCL:
1. Aislar el cuerpo de interés
2. Identificar todas las fuerzas externas
3. Representar las fuerzas como vectores
4. Incluir las reacciones en los apoyos
5. Establecer un sistema de coordenadas
6. Indicar dimensiones relevantes
Tipos de Fuerzas en el DCL
Fuerzas aplicadas:
Cargas conocidas que actúan sobre el cuerpo
Peso propio:
W = mg, actúa en el centro de gravedad
Reacciones:
Fuerzas de contacto en apoyos y conexiones
Ejemplo de DCL - Viga
A B q (N/m) RAx RAy RBy L
DCL mostrando cargas aplicadas y reacciones

🔗 Tipos de Contactos y Apoyos

Rx Ry
Apoyo Articulado (Pin)
Reacciones:
2 componentes (Rx, Ry)
Restricciones:
Impide traslación en X e Y
Permite:
Rotación libre
Ry
Apoyo de Rodillo
Reacciones:
1 componente (Ry)
Restricciones:
Impide traslación en Y
Permite:
Traslación en X y rotación
Rx Ry M
Empotramiento
Reacciones:
3 componentes (Rx, Ry, M)
Restricciones:
Impide traslación y rotación
Permite:
Ningún movimiento

🔄 Par de Fuerzas (Cupla)

Un par de fuerzas o cupla es un sistema de dos fuerzas paralelas, de igual magnitud, sentidos opuestos y líneas de acción diferentes. Produce rotación pura sin traslación.

Características del Par de Fuerzas
Momento del par:
$$M = F \times d$$
d = distancia entre las líneas de acción
Resultante de fuerzas:
$$\sum F = F - F = 0$$
No hay traslación
🔑 Propiedades del Par:
• Momento constante: Independiente del punto de referencia
• Vector libre: Puede trasladarse sin cambiar su efecto
• Rotación pura: No produce traslación
• Equivalencia: Dos pares con igual momento son equivalentes
Par de Fuerzas
F F d M = F × d C
Par de fuerzas produciendo rotación pura

⚙️ Análisis de Máquinas Simples

Aplicación de los principios de estática al análisis de las máquinas fundamentales, derivando las fórmulas de fuerza necesaria para cada tipo.

⚖️ La Palanca

La palanca es una barra rígida que puede girar alrededor de un punto fijo llamado fulcro. Permite amplificar fuerzas mediante el principio de momentos.

Análisis Estático de la Palanca

Equilibrio de momentos respecto al fulcro:
$$\sum M_O = 0$$
$$F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$$
Fuerza necesaria para equilibrio:
$$F_1 = \frac{F_2 \times d_2}{d_1}$$
F₁ = fuerza aplicada, F₂ = resistencia (carga)
d₁ = brazo de la fuerza aplicada, d₂ = brazo de la resistencia
Ventaja mecánica:
$$VM = \frac{d_1}{d_2} = \frac{F_2}{F_1}$$
VM = ventaja mecánica (adimensional)
🔧 Tipos de Palanca:
1ª Clase: Fulcro entre esfuerzo y resistencia (balanza, tijeras)
2ª Clase: Resistencia entre fulcro y esfuerzo (carretilla, cascanueces)
3ª Clase: Esfuerzo entre fulcro y resistencia (pinzas, caña de pescar)
Palanca de Primera Clase
Fulcro (O) F₁ F₂ d₁ d₂ R
F₁ × d₁ = F₂ × d₂

🎯 La Rueda y el Eje

La rueda y eje consiste en una rueda de radio grande conectada rígidamente a un eje de radio pequeño. Ambos giran juntos alrededor del mismo centro.

Análisis de la Rueda con Rodamiento

Fórmula del rodamiento:
$$F \times r = N \times \mu_r$$
F = fuerza aplicada en el centro de la rueda
r = radio de la rueda
N = fuerza normal (peso de la rueda)
μᵣ = coeficiente de rodamiento
Fuerza necesaria para el rodamiento:
$$F = \frac{N \times \mu_r}{r}$$
Fuerza mínima para vencer la resistencia al rodamiento
🔧 Aplicaciones:
• Volante: Amplifica el momento aplicado
• Manivela: Convierte movimiento lineal en rotacional
• Torno: Levanta cargas pesadas con menor esfuerzo
• Timón: Controla la dirección con ventaja mecánica
Rueda Rodando
O F N μᵣN r Contacto M
F × r = N × μᵣ

🎡 El Torno

El torno es una aplicación específica de la rueda y eje, donde se enrolla una cuerda en el eje para levantar cargas mediante una manivela o rueda de mayor radio.

Análisis Estático del Torno

Equilibrio de momentos:
$$F_{manivela} \times R = W \times r$$
Fuerza necesaria en la manivela:
$$F_{manivela} = \frac{W \times r}{R}$$
Ventaja mecánica:
$$VM = \frac{R}{r} = \frac{W}{F_{manivela}}$$
🔧 Características del Torno:
• Carga: Peso W colgando de la cuerda
• Esfuerzo: Fuerza aplicada en la manivela
• Ventaja: Proporcional a R/r
• Aplicación: Pozos, grúas, cabrestantes
Torno con Manivela
W F R r M
F × R = W × r

🎡 El Torno Diferencial

El torno diferencial usa dos tambores concéntricos de diferentes radios para obtener mayor ventaja mecánica con menor esfuerzo.

Análisis Estático del Torno Diferencial

Configuración:
R = radio manivela, r₁ = tambor mayor, r₂ = tambor menor
Equilibrio de momentos:
$$F \times R = W \times \frac{r_1 - r_2}{2}$$
Fuerza necesaria:
$$F = W \times \frac{r_1 - r_2}{2R}$$
Ventaja mecánica:
$$VM = \frac{2R}{r_1 - r_2}$$
🔧 Ventajas:
• Mayor VM cuando r₁ ≈ r₂
• Precisión y movimientos finos
• Autobloqueo en muchos casos
• Aplicación: Grúas de precisión, talleres
Torno Diferencial
Soporte r₁ r₂ R A B W F
F × R = W × (r₁ - r₂)/2

🔄 Las Poleas

Una polea es una rueda acanalada que gira alrededor de un eje, por cuya garganta pasa una cuerda o cable. Las poleas pueden ser fijas o móviles, y su combinación forma sistemas de poleas.

F W

Polea Fija

Función:
Cambia la dirección de la fuerza
Fórmula:
F = W
Ventaja mecánica:
VM = 1
Ventaja:
Permite tirar hacia abajo
Soporte F W T T

Polea Móvil

Función:
Reduce la fuerza necesaria
Fórmula:
F = W/2
VM:
2
Desventaja:
Se tira el doble de cuerda

🔗 Sistemas de Poleas (Polipastos)

Los polipastos combinan poleas fijas y móviles para lograr grandes ventajas mecánicas.

Bloque Fijo Bloque Móvil Fijo F R 6 ramales

Polipasto Lineal (Aparejo Común)

Configuración:
n = 3 fijas + 3 móviles = 6 ramales
Fórmula:
F = R/(2n)
VM:
2n = 6
Aplicación:
Grúas, montacargas
Fija Móvil 1 Móvil 2 Móvil 3 Fijo F R

Polipasto Exponencial

Configuración:
n = 3 poleas móviles en serie
Fórmula:
F = R/2ⁿ
VM:
2ⁿ = 8
Aplicación:
Grúas pesadas

Fórmulas de las poleas

Polea Fija
$$F = W$$
Solo cambia dirección
Polea Móvil
$$F = \frac{W}{2}$$
Reduce fuerza a la mitad
Polipasto Lineal
$$F = \frac{R}{2n}$$
n = poleas móviles · VM = 2n
Polipasto Exponencial
$$F = \frac{R}{2^n}$$
n = poleas móviles · VM = 2ⁿ

🔗 El Ternal (Sistema de Poleas Diferenciales)

El ternal o sistema de poleas diferenciales está formado por tres poleas: dos poleas fijas concéntricas de diferentes diámetros fijadas en el mismo eje, y una polea móvil.

Análisis Estático del Ternal Diferencial

Configuración:
R = radio polea fija mayor, r₁ = radio polea fija menor
Fuerza teórica (sin fricción):
$$F_{teorica} = W \times \frac{r_1 - r_2}{2 \times r_1}$$
Fuerza real (con rendimiento):
$$F = \frac{W \times (r_1 - r_2)}{2 \times r_1 \times \eta}$$
η = rendimiento del sistema
Ventaja mecánica real:
$$VM = \frac{2 \times r_1 \times \eta}{r_1 - r_2}$$
🔧 Características del Ternal Diferencial:
• Poleas concéntricas: Radios r₁ > r₂
• Polea móvil: Soporta la carga W
• Ventaja: Gran reducción de fuerza
• Aplicación: Talleres mecánicos, grúas
Ternal Diferencial
Fijo F W r₁ r₂ Poleas Concéntricas Polea Móvil
F = W(r₁-r₂)/(2r₁η)

📐 El Plano Inclinado

El plano inclinado es una superficie plana inclinada que permite subir objetos pesados aplicando una fuerza menor que el peso, pero a lo largo de una mayor distancia.

Análisis Estático del Plano Inclinado

Descomposición del peso:
$$W_{\parallel} = W \sin \theta$$
$$W_{\perp} = W \cos \theta$$
Equilibrio paralelo al plano:
$$F = W \sin \theta + f$$
f = fuerza de fricción
Fuerza mínima (sin fricción):
$$F_{min} = W \sin \theta = W \frac{h}{L}$$
W = peso del objeto, θ = ángulo del plano
h = altura, L = longitud del plano
Con fricción:
$$F = W(\sin \theta + \mu \cos \theta)$$
μ = coeficiente de fricción estática
Ventaja mecánica ideal:
$$VM = \frac{L}{h} = \frac{W}{F_{min}}$$
VM = ventaja mecánica (adimensional)
🔧 Aplicaciones del Plano Inclinado:
• Rampas: Acceso para vehículos y personas
• Carreteras en montaña: Pendientes controladas
• Escaleras: Ascenso gradual
• Cuñas: Planos inclinados móviles
Plano Inclinado
W F θ L h
F = W sin θ

🔩 El Tornillo

El tornillo es esencialmente un plano inclinado enrollado alrededor de un cilindro. Convierte el movimiento rotacional en movimiento lineal con gran ventaja mecánica.

Análisis Estático del Tornillo

Relación entre paso y radio:
$$\tan \alpha = \frac{p}{2\pi r}$$
α = ángulo de la hélice, p = paso
Equilibrio de momentos:
$$F \times R = W \times \frac{p}{2\pi}$$
Fuerza necesaria (sin fricción):
$$F = W \times \frac{p}{2\pi R}$$
W = carga axial, p = paso de rosca
R = radio de la manivela
Con fricción:
$$F = W \times \frac{p + 2\pi \mu r}{2\pi R}$$
μ = coeficiente de fricción, r = radio del tornillo
Ventaja mecánica ideal:
$$VM = \frac{2\pi R}{p}$$
VM = ventaja mecánica (adimensional)
🔧 Aplicaciones del Tornillo:
• Prensa de tornillo: Grandes fuerzas de compresión
• Gato hidráulico: Levantamiento de vehículos
• Tornillo de banco: Sujeción de piezas
• Tornillos de fijación: Unión de elementos
Tornillo y su Equivalente
W F R p Equivalente: 2πR p M
F × R = W × p/(2π)