Cuerpos en Rotación - Dinámica Rotacional

⚖️ Movimiento Lineal vs. Rotacional

📏 Movimiento Lineal

Posición (x)

Ubicación del objeto en el espacio

Velocidad (v)

Cambio de posición por unidad de tiempo

Aceleración (a)

Cambio de velocidad por unidad de tiempo

Fuerza (F)

Causa del cambio en el movimiento

Masa (m)

Resistencia al cambio de movimiento

🔄 Movimiento Rotacional

Posición angular (θ)

Ángulo de rotación del objeto

Velocidad angular (ω)

Cambio de ángulo por unidad de tiempo

Aceleración angular (α)

Cambio de velocidad angular por tiempo

Torque (τ)

Causa del cambio en la rotación

Momento de inercia (I)

Resistencia al cambio de rotación

📊 Tabla de Analogías

Magnitud	Movimiento Lineal	Movimiento Rotacional	Relación
Desplazamiento	x (metros)	θ (radianes)	x = r·θ
Velocidad	v (m/s)	ω (rad/s)	v = r·ω
Aceleración	a (m/s²)	α (rad/s²)	a = r·α
Inercia	m (kg)	I (kg·m²)	I = Σmr²
Fuerza/Torque	F (N)	τ (N·m)	τ = r×F
Momento	p = mv	L = Iω	L = r×p
Energía Cinética	½mv²	½Iω²	E = E_lineal + E_rotacional

🔧 Momento de una Fuerza y Par de Fuerzas

⚡ Momento de una Fuerza (Torque)

El momento de una fuerza o torque es la capacidad de una fuerza para producir rotación alrededor de un eje. Depende de tres factores fundamentales:

1. Magnitud de la fuerza (F)

Mayor fuerza → Mayor torque

2. Distancia al eje (r)

Mayor distancia → Mayor torque

3. Ángulo de aplicación (θ)

90° es el ángulo óptimo

Fórmulas del Torque

Forma vectorial:

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

Magnitud:

$$|\tau| = r \cdot F \cdot \sin(\theta)$$

Con brazo de palanca:

$$\tau = F \cdot d$$

donde d = r·sin(θ) es el brazo de palanca

💡 Conceptos Clave del Torque

• Brazo de palanca: Distancia perpendicular desde el eje hasta la línea de acción de la fuerza

• Regla de la mano derecha: Determina la dirección del torque

• Torque máximo: Cuando θ = 90° (fuerza perpendicular)

• Torque nulo: Cuando θ = 0° o 180° (fuerza paralela)

🔄 Par de Fuerzas

Un par de fuerzas es un sistema de dos fuerzas paralelas, de igual magnitud y sentido opuesto, aplicadas en puntos diferentes de un cuerpo. Este sistema produce únicamente rotación, sin traslación neta.

Características del par:

• Fuerzas iguales y opuestas
• No hay fuerza neta
• Solo produce rotación
• El torque es independiente del punto de referencia

Torque del par:

$$\tau = F \cdot d$$

donde d es la distancia entre las fuerzas

🎯 Ejemplos de Pares de Fuerzas:

Volante de automóvil

Las manos aplican fuerzas opuestas para girar

Destornillador

Fuerzas en extremos opuestos del mango

Llave inglesa

Par de fuerzas para aflojar tuercas

⚖️ Momento de Inercia

🎯 Concepto de Momento de Inercia

El momento de inercia (I) es el análogo rotacional de la masa. Representa la resistencia de un objeto a cambiar su estado de rotación y depende tanto de la masa como de su distribución respecto al eje de rotación.

📋 Características del Momento de Inercia:

• Depende de la masa: Más masa → Mayor momento de inercia

• Depende de la distribución: Masa más alejada del eje → Mayor momento de inercia

• Depende del eje: El mismo objeto tiene diferentes I para diferentes ejes

• Siempre positivo: I ≥ 0 para cualquier objeto

Fórmulas del Momento de Inercia

Para partículas puntuales:

$$I = \sum_{i} m_i r_i^2$$

Para cuerpos continuos:

$$I = \int r^2 \, dm$$

Teorema de ejes paralelos:

$$I = I_{cm} + md^2$$

📊 Momentos de Inercia Comunes

Varilla delgada (centro)

I = (1/12)mL²

📏

Disco sólido (centro)

I = (1/2)mR²

⚪

Anillo delgado

I = mR²

⭕

Esfera sólida (centro)

I = (2/5)mR²

🔵

Cilindro hueco

I = (1/2)m(R₁² + R₂²)

🔘

Placa rectangular (centro)

I = (1/12)m(a² + b²)

⬜

🎨 Visualización: Distribución de Masa

Masa en el centro

I = pequeño

Fácil de hacer girar

Masa distribuida

I = medio

Resistencia moderada

Masa en el borde

I = grande

Difícil de hacer girar

⚡ Trabajo, Energía y Potencia en Rotación

🔧 Trabajo Rotacional

En el movimiento rotacional, el trabajo se realiza cuando un torque actúa a través de un desplazamiento angular. Es el análogo rotacional del trabajo lineal.

Trabajo Rotacional

Trabajo rotacional:

$$W = \int \tau \, d\theta$$

Para torque constante:

$$W = \tau \cdot \Delta\theta$$

Analogía:

$$W_{lineal} = F \cdot \Delta x$$

$$W_{rotacional} = \tau \cdot \Delta\theta$$

💡 Conceptos Clave:

• El trabajo es positivo si τ y Δθ tienen el mismo sentido

• El trabajo es negativo si τ y Δθ tienen sentidos opuestos

• Las unidades son Joules (J = N·m·rad = N·m)

• El trabajo rotacional puede convertirse en energía cinética

⚡ Energía Cinética Rotacional

La energía cinética rotacional es la energía asociada al movimiento de rotación de un objeto. Depende del momento de inercia y la velocidad angular.

Energía Cinética Rotacional

Energía cinética rotacional:

$$E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$$

Analogía con movimiento lineal:

$$E_{k,lineal} = \frac{1}{2}mv^2$$

$$E_{k,rotacional} = \frac{1}{2}I\omega^2$$

Energía total de un objeto que rueda:

$$E_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

🎯 Aplicaciones:

• Volantes de inercia: Almacenan energía rotacional

• Objetos que ruedan: Combinan energía lineal y rotacional

• Turbinas: Convierten energía rotacional en eléctrica

• Giroscopios: Utilizan la energía rotacional para estabilidad

⚡ Potencia Rotacional

La potencia rotacional es la tasa a la que se realiza trabajo rotacional. Es el producto del torque por la velocidad angular.

Potencia Rotacional

Potencia rotacional:

$$P = \tau \cdot \omega$$

También:

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{d(\tau \theta)}{dt}$$

Analogía:

$$P_{lineal} = F \cdot v$$

$$P_{rotacional} = \tau \cdot \omega$$

🔧 Ejemplos Prácticos:

Motor eléctrico

P = τ × ω = 50 N·m × 100 rad/s = 5000 W

Turbina eólica

P = τ × ω = 10⁶ N·m × 2 rad/s = 2 MW

Taladro

P = τ × ω = 2 N·m × 200 rad/s = 400 W

📊 Unidades:

• Potencia: Watts (W) = J/s = N·m/s

• Torque: Newton-metro (N·m)

• Velocidad angular: rad/s

• Conversión: 1 CV = 735,5 W

⚠️ Fuerzas No Conservativas en Rotación

🔥 Disipación de Energía

Cuando hay fuerzas no conservativas, como la fricción o la resistencia del aire, actuando sobre un cuerpo en rotación, la energía mecánica total no se conserva. Estas fuerzas realizan un trabajo negativo, disipando energía del sistema, generalmente en forma de calor.

🔧 Ejemplos de Fuerzas No Conservativas:

• Fricción en rodamientos: Disipa energía en motores y máquinas

• Resistencia del aire: Frena objetos que giran en el aire

• Fricción viscosa: En fluidos que rodean al objeto

• Deformación inelástica: En materiales que se deforman

⚡ Efectos de las Fuerzas No Conservativas:

• Reducción de velocidad angular: El objeto gira más lento

• Pérdida de energía cinética: Se convierte en calor

• Necesidad de trabajo externo: Para mantener la rotación

• Calentamiento del sistema: Aumento de temperatura

📐 Teorema del Trabajo y la Energía

El teorema del trabajo y la energía se extiende para incluir el trabajo realizado por fuerzas no conservativas, relacionando este trabajo con el cambio en la energía mecánica total del sistema.

Teorema del Trabajo y la Energía Extendido

Ecuación general:

$$W_{nc} = \Delta E_m = \Delta E_k + \Delta U$$

Para rotación pura:

$$W_{nc} = \Delta E_{k,rot} = \Delta\left(\frac{1}{2}I\omega^2\right)$$

Trabajo de fricción:

$$W_{fricción} = -\int \tau_{fricción} \, d\theta$$

📋 Donde:

• W_nc: Trabajo realizado por las fuerzas no conservativas

• ΔE_m: Cambio en la energía mecánica total del sistema

• ΔE_k: Cambio en la energía cinética (traslacional y rotacional)

• ΔU: Cambio en la energía potencial

🎯 Casos Especiales:

• Si W_nc = 0: La energía mecánica se conserva

• Si W_nc < 0: La energía mecánica disminuye (fricción)

• Si W_nc > 0: Se añade energía al sistema (motor)

🔧 Aplicaciones Prácticas

🎡

Rueda que se detiene

Una rueda girando libremente se detiene gradualmente debido a la fricción en el eje y la resistencia del aire.

W_fricción = -½Iω₀²

🏭

Motor con carga

Un motor debe realizar trabajo adicional para vencer la fricción y mantener una velocidad angular constante.

W_motor = -W_fricción

🌪️

Turbina eólica

Las turbinas experimentan fricción en los rodamientos y resistencia aerodinámica que reduce su eficiencia.

η = P_útil/P_viento

🌀 Momento Angular

🎯 Concepto de Momento Angular

El momento angular (L) es el análogo rotacional del momento lineal. Describe la "cantidad de movimiento rotacional" de un objeto y es una magnitud vectorial que se conserva en ausencia de torques externos.

Momento Angular

Para cuerpo rígido:

$$\vec{L} = I\vec{\omega}$$

Para partícula:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$$

Magnitud:

$$L = mvr\sin(\theta) = I\omega$$

🔑 Propiedades del Momento Angular:

• Magnitud vectorial: Tiene dirección y sentido

• Se conserva: En ausencia de torques externos

• Dirección: Perpendicular al plano de rotación

• Regla de la mano derecha: Determina la dirección

⚖️ Conservación del Momento Angular

La conservación del momento angular es uno de los principios fundamentales de la física. Cuando no hay torques externos netos, el momento angular total del sistema permanece constante.

Conservación del Momento Angular

Si τ_ext = 0:

$$\vec{L}_{inicial} = \vec{L}_{final}$$

Para cambios en I:

$$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$$

Relación con torque:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}_{ext}$$

🌟 Ejemplos de Conservación:

Patinador girando

Al acercar los brazos, I disminuye → ω aumenta

Planetas orbitando

L constante → velocidad varía con la distancia

Giroscopio

Mantiene orientación por conservación de L

🎨 Visualización: Conservación del Momento Angular

Estado inicial

I = grande, ω = pequeña

L = I × ω = constante

→

Conservación

L₁ = L₂

Sin torques externos

Estado final

I = pequeño, ω = grande

L = I × ω = constante

🎮 Simulación Interactiva de Rotación

Masa (kg):

5 kg

Radio (m):

1.0 m

Velocidad angular (rad/s):

2.0 rad/s

Tipo de objeto:

Resultados Calculados:

Momento de inercia: 12.5 kg·m²

Energía cinética: 25.0 J

Momento angular: 25.0 kg·m²/s

Velocidad lineal (borde): 2.0 m/s

Energía cinética

Momento angular

Velocidad lineal

📊 Gráficos de Energía

Energía Cinética 50%

Momento Angular 50%

🌀 Introducción a la Dinámica Rotacional

⚖️ Movimiento Lineal vs. Rotacional

📏 Movimiento Lineal

🔄 Movimiento Rotacional

📊 Tabla de Analogías

🔧 Momento de una Fuerza y Par de Fuerzas

⚡ Momento de una Fuerza (Torque)

Fórmulas del Torque

💡 Conceptos Clave del Torque

🔄 Par de Fuerzas

🎯 Ejemplos de Pares de Fuerzas:

⚖️ Momento de Inercia

🎯 Concepto de Momento de Inercia

📋 Características del Momento de Inercia:

Fórmulas del Momento de Inercia

📊 Momentos de Inercia Comunes

🎨 Visualización: Distribución de Masa

⚡ Trabajo, Energía y Potencia en Rotación

🔧 Trabajo Rotacional

Trabajo Rotacional

💡 Conceptos Clave:

⚡ Energía Cinética Rotacional

Energía Cinética Rotacional

🎯 Aplicaciones:

⚡ Potencia Rotacional

Potencia Rotacional

🔧 Ejemplos Prácticos:

📊 Unidades:

⚠️ Fuerzas No Conservativas en Rotación

🔥 Disipación de Energía

🔧 Ejemplos de Fuerzas No Conservativas:

⚡ Efectos de las Fuerzas No Conservativas:

📐 Teorema del Trabajo y la Energía

Teorema del Trabajo y la Energía Extendido

📋 Donde:

🎯 Casos Especiales:

🔧 Aplicaciones Prácticas

Rueda que se detiene

Motor con carga

Turbina eólica

🌀 Momento Angular

🎯 Concepto de Momento Angular

Momento Angular

🔑 Propiedades del Momento Angular:

⚖️ Conservación del Momento Angular

Conservación del Momento Angular

🌟 Ejemplos de Conservación:

🎨 Visualización: Conservación del Momento Angular

🎮 Simulación Interactiva de Rotación

Resultados Calculados:

📊 Gráficos de Energía

🚀 Aplicaciones de la Dinámica Rotacional